Absolute Lipschitz extendability

A metric space X is said to be absolutely Lipschitz extendable if every Lipschitz function f from X into any Banach space Z can be extended to any containing space Y ⊇ X , where the loss in the Lipschitz constant in the extension is independent of Y , Z, and f . We show that various classes of natural metric spaces are absolutely Lipschitz extendable. c © 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Sur la propriété d’extension lipschitzienne absolue Résumé. On dit qu’un espace métrique X a la propriété d’extension lipschitzienne absolue si pour tout espace de Banach Z, toute fonction lipschitzienne f de X dans Z peut être étendue à tout espace métrique Y contenant X , avec une perte dans la constante de Lipschitz de l’extension qui ne dépend pas du choix de Y, Z et f . Nous montrons que plusieurs classes naturelles d’espaces métriques ont la propriété d’extension lipschitzienne absolue. c © 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS Let (Y, dY ), (Z, dZ) be metric spaces, and for every X ⊆ Y , denote by e(X, Y, Z) the infimum over all constants K such that every Lipschitz function f : X → Z can be extended to a function f̃ : Y → Z satisfying ‖f̃‖Lip ≤ K‖f‖Lip. (If no such K exists, we set e(X, Y, Z) = ∞). We also define e(Y, Z) = sup{e(X,Y, Z) : X ⊆ Y } and for every integer n, en(Y, Z) = sup{e(X, Y, Z) : X ⊆ Y, |X| ≤ n}. Estimating e(Y,Z) is a classical and fundamental problem that has attracted a lot of attention due to its intrinsic interest and applications to geometry and approximation theory. It is a classical fact that for every metric space Y , e(Y, `∞) = 1, and Kirszbraun’s famous extension theorem [K] states that whenever H1 and H2 are Hilbert spaces, e(H1, H2) = 1. We refer to the books [BL, WW] for a detailed account of the case e(Y,Z) = 1 and list below three results which deal with the case e(Y, Z) > 1, when the target space Z is a Banach space. In what follows, C is a universal constant. T1. ( Johnson-Lindenstrauss-Schechtman [JLS] ) For every metric space Y and every Banach space Z, en(Y, Z) ≤ C log n. T2. ( Johnson-Lindenstrauss-Schechtman [JLS] ) For every d-dimensional normed space Y and every Banach space Z, e(Y, Z) ≤ Cd. Note présentée par Michael GROMOV. S0764-4442(00)0????-?/FLA c © 2003 Académie des sciences/Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS. Tous droits réservés. 1